Para entender qué son los cuaterniones imagina que las agujas de un reloj marca las 3:00 pm, y que luego las agujas retroceden hasta las 12 del mediodía.

Los matemáticos han sabido, durante mucho tiempo, cómo describir esta rotación como una simple multiplicación: un número que representa la posición inicial de las agujas del reloj en el plano se multiplica por otro número constante. Pero, ¿es posible un truco similar para describir las rotaciones a través del espacio? y sí es así ¿Como afecta esto a los videojuegos?

A continuación hablaremos acerca de los cuaterniones y su función en Fortnite y en la computación moderna.

Origen de los cuaterniones

William Hamilton, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XIX, luchó durante más de una década por encontrar las matemáticas para describir las rotaciones en tres dimensiones.

Hamilton obtuvo una solución en donde se le presentaban tres sistemas numéricos, relacionadas a la aritmética estándar -es decir, a las operaciones con números que todos conocemos-. Estos fueron:

  1. Los números reales: que forman una secuencia de números que pueden ordenarse de menor a mayor.
  2. Los números complejos: donde los números engañosamente llamados “imaginarios” se combinan con números reales.

En este mundo plano, los “números complejos” representan flechas que se pueden deslizar con suma y resta o girar y estirar con multiplicación y división.

John Baez, matemático de la Universidad de California.

Más allá del plano complejo

Los dos sistemas numéricos descritos hasta ahora eran bien conocidos durante la época de Hamilton, lo realmente novedoso que hizo fue tratar de “escapar” del plano complejo añadiendo un eje imaginario j, descubriendo así un espacio tridimensional diferente.

Sir William Rowan Hamilton, sus estudios dieron origen a los cálculos que se utilizan hoy día para dar realismo a las imágenes creadas en videojuegos.

Pero había algo en las tres dimensiones que rompió todo sistema en el que Hamilton podía pensar.

“Debe haber probado millones de cosas y ninguna de ellas funcionó”, dice Baez, matemático de la Universidad de California en Riverside.

El problema con este sistema era la multiplicación: no importa cómo Hamilton trató de definir la multiplicación en 3D de este sistema, no pudo encontrar una división opuesta que siempre devolviera respuestas congruentes.

Rotación en 3-D

Para ilustrar lo que Hamilton intentaba hallar tengamos en cuenta lo siguiente: recordemos que la división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, si multiplicamos 3 x 5 resulta 15, y si dividimos 15 entre 5 resulta 3. Así, ambas operaciones están estrechamente relacionadas.

Este tipo de relación inversa es la que Hamilton no pudo hallar en su sistema 3D. Si queremos entender qué es lo que hace que esta rotación sea mucho más difícil, comparemos el giro de un volante con el giro de un globo terráqueo.

cuaterniones
El giro del volante representa una rotación del plano complejo

Al girar el volante, todos los puntos dentro de el se mueven juntos de la misma manera, por lo que se multiplican por el mismo número (rotación del plano complejo).

En el caso del globo terráqueo, los puntos del globo se mueven más rápido alrededor del ecuador y más despacio a medida que te mueves hacia el norte o el sur.

Los puntos en los polos se mueven más rápido que los puntos en el ecuador

Crucialmente, los polos no cambian en absoluto, pero si las rotaciones en 3D funcionaran como las rotaciones en 2D, explica John Báez, cada punto se movería.

La solución de Hamilton

Hamilton halló la solución en el puente Broome de Dublín, Irlanda, la cual consiste en meter el globo terráqueo en un espacio más grande donde las rotaciones se comportan de manera más parecida a como lo hacen en dos dimensiones.

No solucionó el problema con dos sino tres ejes imaginarios, i, j y k, más la parte numérica real a, Así Hamilton definió nuevos números que son como flechas en el espacio 4D y los llamó “cuaterniones“.

from r/woahdude
Cubo giratorio con cintas adjuntas que ayudan a visualizar las rotaciones de los cuaterniones.

Al caer la noche, Hamilton ya había esbozado un esquema para la rotación de flechas tridimensionales: Demostró que éstas podían ser consideradas como cuaterniones simplificadas al establecer, la parte real a, igual a cero y manteniendo sólo los componentes imaginarios i, j y k, análogo a lo que se conoce actualmente como “vector“.

Así, rotar un vector tridimensional significa multiplicarlo por un par de cuaterniones 4D completos (sin la parte real igual a cero) que contienen información sobre la dirección y el grado de rotación.

Para ver la multiplicación de cuaterniones en acción, se recomienda ver el vídeo hecho por popular animador matemático 3Blue1Brown:

Cuaterniones: Cómo pensar en este sistema de números 4d en nuestro espacio 3D.

Los cuaterniones en Fortnite

Aunque el descubrimiento de Hamilton pasó desapercibido por un algún tiempo, no fue hasta que la industria de la simulación visual y los gráficos por computadoras que las matemáticas de cuaterniones cobraron vida de nuevo.

En el desarrollo de juegos, los cuaterniones se utilizan a menudo para describir una rotación en el espacio 3D mediante la codificación de:

  1. Un eje de rotación, en forma de vector tridimensional
  2. El ángulo de giro alrededor de ese eje.

En otras palabras, los cuaterniones son los que permiten que un personaje gire y se desplace en el juego.

Y hablando de manera mas simple, la industria de los videojuegos no existiría de la manera en la que la vemos hoy de no ser por el estudio de los cuaterniones.

Los cuaterniones hacen posible la movilización en el juego

Con información de: QuantaMagazine y Harold Serrano

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